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By A.N. Parshin

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Infinite Dimensional Lie Groups in Geometry and Representation Theory: Washington, DC, USA 17-21 August 2000

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Problèmes de géométrie élémentaire (problèmes 3 et 4) Le troisième problème a ceci de particulier qu’il concerne un sujet issu des « mathématiques élémentaires », de lagéométrie dans l’espace telle qu’on l’enseignait encore récemment dans les lycées. Euclide, déjà, calculait la surface d’un triangle en le décomposant en triangles plus petits et, pour les polyèdres de l’espace, il avait recours à un procédé d’« exhaustion », ou principe de continuité, dont l’apparition regrettable est déjà signalée par Gauss.

En moins de trois ans, Hilbert élabora un volumineux rapport, Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, où il exposait avec d’importantes simplifications tous les résultats connus antérieurement depuis Kummer, Dirichlet, Dedekind et Kronecker, auxquels il ajoutait de nombreux résultats nouveaux. Son intention déclarée était de donner des démonstrations « dont les principes soient susceptibles d’être généralisés et d’être le plus utiles possible pour les recherches ultérieures » ; c’est ainsi que les notations et la terminologie de Hilbert sont encore utilisées de nos jours.

Hilbert propose de montrer la transcendance de ab, pour a algébrique et b irrationnel. Exemple : Cette question, dont la solution a valu à juste titre la célébrité à Gelfond, est considérée comme résumant le septième problème. Il est cependant intéressant de remarquer que Hilbert suggère l’étude plus générale des valeurs prises par des fonctions transcendantes pour des valeurs algébriques de la variable. Ce point de vue a été largement exploité ultérieurement. Mais revenons d’abord aux résultats de Gelfond, raffinés par Schneider, qu’on peut énoncer comme suit : Théorème.

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