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By Grothendieck A., et al.

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1. — Soient E une U -catégorie où les produits fibrés sont représentables, et admettant une famille génératrice d’objets qui soit U -petite. Alors pour toute famille génératrice (Yi )i∈I de E, il existe une sous-famille génératrice U -petite (Yj )j∈J (card J ∈ U ). 7 à une U -petite famille génératrice (Xα )α∈A de E et à la famille des foncteurs ϕi (i ∈ I) représentés par les Yi . 8. — Soient E une catégorie, C une sous-catégorie pleine génératrice par épimorphismes stricts, D une catégorie, H om (E, D) la sous-catégorie pleine de H om(E, D) formée des foncteurs qui commutent aux limites inductives du type C/X , où X est un objet quelconque de E.

E. des objets de C munis de morphismes X → F, X → F, prouvons qu’ils sont majorés par un troisième objet de C/F . Or les morphismes X → F, X → F proviennent de morphismes X → Xi , X → Xi , et quitte à remplacer i, i par un majorant commun dans Ob I, on peut supposer i = i , et on prend comme majorant commun de X, X l’objet Xi muni f, g G h G GX du morphisme canonique Xi → F. Soit maintenant X F une double flèche dans C/F , prouvons qu’elle est égalisée par une flèche X → X de C/F . e. quitte à remplacer hi par ϕ(α)hi , on égalise f et g.

49 En effet, dans le cas (i) on a 4) ⇒ 3) et 3) ⇒ 2) grâce à b), et 5) ⇒ 4) et 2) ⇒ 1) 31 PRÉFAISCEAUX i grâce à a). Dans le cas (ii) on a grâce à c), les implications 4) ⇒ 1) et 5) ⇒ 2). 2 (ii). 2. (i) L’implication b) ⇒ a) résulte aussitôt des définitions. Prouvons a) ⇒ b). Donc sous l’hypothèse a), il faut prouver que pour tout X, Y ∈ ob E, tout système de flèches uX : X −→ Y indexé par les X ∈ ob C/X , telle que l’on ait uX f = uX pour toute flèche f : X → X dans C/X , se factorise par une flèche (nécessairement unique par l’hypothèse a)) X → Y.

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